Основная задача ТСМО заключается в установлении зависимости между характером потока заявок на входе СМО, производительностью одного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания.
В качестве критерия эффективности могут быть использованы различные функции и величины:
- среднее время простоя системы;
- среднее время ожидания в очереди;
- закон распределения длительности ожидания требования в очереди;
- средний % заявок, получивших отказ; и т.д.
Выбор критерия зависит от вида системы. Например, для систем с отказами главной характеристикой является абсолютная пропускная способность СМО; менее важные критерии - число занятых каналов, среднее относительное время простоя одного канала и системы в целом. Для систем без потерь (с неограниченным ожиданием) важнейшим является среднее время простоя в очереди, среднее число требований в очереди, среднее время пребывания требований в системе, коэффициент простоя и коэффициент загрузки обслуживающей системы.
Современная ТСМО является совокупностью аналитических методов исследования перечисленных разновидностей СМО. В дальнейшем из всех достаточно сложных и интересных методов решения задач массового обслуживания будут изложены методы, описываемые в классе марковских процессов типа “гибель и размножение”. Это объясняется тем, что именно эти методы чаще всего используются в практике инженерных расчетов.
2. Математические модели потоков событий.
2.1. Регулярный и случайный потоки.
Одним из центральных вопросов организации СМО является выяснение закономерностей, которым подчиняются моменты поступления в систему требований на обслуживание. Рассмотрим наиболее употребляемые математические модели входных потоков.
Определение: Поток требований называют однородным, если он удовлетворяет условиям:
- все заявки потока с точки зрения обслуживания являются равноправными;
вместо требований (событий) потока, которые по своей природе могут быть различными, рассматриваются толь ко моменты их поступления.
Определение: Регулярным называются поток, если события в потоке следуют один за другим через строгие интервалы времени.
Функция f (х) плотности распределения вероятности случайной величины Т – интервала времени между событиями имеет при этом вид:
Где - дельта функция, М т - математическое ожидание, причем М т =Т, дисперсия D т =0 и интенсивность наступления событий в поток =1/M т =1/T.
Определение: Поток называют случайным , если его события происходят в случайные моменты времени.
Случайный поток может быть описан как случайный вектор, который, как известно, может быть задан однозначно законом распределения двумя способами:
Где, zi - значения Ti(i=1,n), В этом случае моменты наступления событий могут быть вычислены следующим образом
t 1 =t 0 +z1
t 2 =t 1 +z2
………,
где, t 0 - момент начала потока.2.2. Простейший пуассоновский поток.
Для решения большого числа прикладных задач бывает достаточным применить математические модели однородных потоков, удовлетворяющих требованиям стационарности, без последействия и ординарности.
Определение: Поток называется стационарным, если вероятность появления n событий на интервале времени (t,t+T) зависит от его расположения на временной оси t.
Определение:
Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух
или более событий в течении элементарного интервала времени D
t
есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления
одного события на этом интервале, т.е. 
при
n=2,3,…
Определение: Поток событий называетсяпотоком без последствия , если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий попадающих на другой.
Определение: Если поток удовлетворяет требованиям стационарности, ординарности и без последствия он называется простейшим, пуассоновским потоком.
Доказано, что для простейшего потока число n событий попадающих на любой интервал z распределено по закону Пуассона:
(1)
Вероятность того, что на интервале времени z не появится ни одного события равна:
(2)
тогда вероятность противоположного события:
где по определению P(T
(3)
параметр называют плотностью потока. Причем,
Впервые описание модели простейшего потока появились в работах выдающихся физиков начала века – А. Эйнштейна и Ю.Смолуховского, посвященных броуновскому движению.
2.3. Свойства простейшего пуассоновского потока.
Известны два свойства простейшего потока, которые могут быть использованы при решении практических задач.
2.3.1. Введем величину a= х. В соответствии со свойствами Пуассоновского распределения при оно стремится к нормальному. Поэтому для больших а для вычисления Р{Х(а)меньше, либо равно n}, где Х(а) – случайная величина распределенная по Пуассону с матожиданием а можно воспользоваться следующим приближенным равенством:
2.3.2. Еще одно свойство простейшего потока связано со следующей теоремой:
Теорема: При показательном распределении интервала времени между требованиями Т, независимо от того, сколько он длился, оставшаяся его часть имеет тот же закон распределения.
Доказательство:
пусть Т распределено по показательному закону: 
Предположим,
что промежуток а уже длился некоторое время а<
Т.
Найдем условный закон распределения оставшейся части промежутка Т
1 =Т-а
F a (x)=P(T-a
По теореме умножения вероятностей:
P((T>a)(T-a
Отсюда,
равносильно событию а
P(T>a)=1-F(a), таким образом
F a (x)=(F(z+a)-F(a))/(1-F(a))
Отсюда, учитывая (3):
Этим свойством обладает только один вид потоков – простейшие пуассоновские.
В предыдущих лекциях мы научились имитировать наступление случайных событий. То есть мы можем разыграть какое из возможных событий наступит и в каком количестве. Чтобы это определить, надо знать статистические характеристики появления событий, например, такой величиной может быть вероятность появления события, или распределение вероятностей разных событий, если типов этих событий бесконечно много.
Но часто еще важно знать, когда конкретно наступит то или иное событие во времени.
Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток . Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднем происходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.
Интенсивность потока в некотором смысле является математическим ожиданием количества событий в единицу времени. Но реально может так оказаться, что в один час появится 4 события, в другой 6, хотя в среднем получается 5 событий в час, поэтому одной величины для характеристики потока недостаточно. Второй величиной, характеризующей насколько велик разброс событий относительно математического ожидания, является, как и ранее, дисперсия. Собственно именно эта величина определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления. Про эту величину мы расскажем в следующей лекции.
Поток событий это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события выглядят как показано на рис. 28.1 .
Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.
Интенсивность потока λ это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N /T н , где N число событий, произошедших за время наблюдения T н .
Если интервал между событиями τ j равен константе или определен какой-либо формулой в виде: t j = f (t j 1) , то поток называется детерминированным . Иначе поток называется случайным .
Случайные потоки бывают:
- ординарные : вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;
- стационарные : частота появления событий λ (t ) = const(t ) ;
- без последействия : вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.
Пуассоновский поток
За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .
Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия.
Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:
где a параметр Пуассона.
Если λ (t ) = const(t ) , то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ) , то это нестационарный поток Пуассона .
Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:
Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0 ) события за время τ равна:
Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.
Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С ) вычисляется так:
так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, другого не дано).
Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет график функции монотонно возрастает.
Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).
Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.
Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.
По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:
τ = 1/λ · Ln(r ) ,
где r равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).
Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час] ). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов . m = 1/λ = 24/8 = 3 , то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3 . На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.
На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33 Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3 .
Моделирование неординарных потоков событий
Если известно, что поток не является ординарным, то необходимо моделировать кроме момента возникновения события еще и число событий, которое могло появиться в этот момент. Например, вагоны на железнодорожную станцию прибывают в составе поезда в случайные моменты времени (ординарный поток поездов). Но при этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий.
Допустим, что M k = 10 , σ = 4 (то есть, в среднем в 68 случаях из 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда) и их число распределено по нормальному закону. В место, отмеченное (*) в предыдущем алгоритме (см. рис. 28.6 ), нужно вставить фрагмент, показанный на рис. 28.8 .
Пример 2 . Очень полезным в производстве является решение следующей задачи. Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ 2 ? При этом экспериментально установлено, что привозят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ 1 партиями по 8 штук, причем размер партии колеблется случайно по нормальному закону с m = 8 , σ = 2 (см. лекцию 25). До начала моделирования T = 0 на складе изделий не было. Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов.
На рис. 28.9 представлен алгоритм, генерирующий случайным образом поток прихода партий изделий на обработку и поток случайных событий выхода партий изделий с обработки.
На рис. 28.10 показан результат работы алгоритма моменты времени, когда детали приходили на операцию, и моменты времени, когда детали покидали операцию. На третьей линии видно, сколько деталей стояло в очереди на обработку (лежало на складе узла) в разные моменты времени.
Отмечая для обрабатывающего узла времена, когда он простаивал в ожидании очередной детали (см. на рис. 28.10 участки времени, выделенные красной штриховкой), мы можем посчитать суммарное время простоев узла за все время наблюдения, а затем рассчитать среднее время простоя в течение суток. Для данной реализации это время вычисляется так:
T пр. ср. = 24 · (t 1 пр. + t 2 пр. + t 3 пр. + t 4 пр. + + t N пр.)/T н .
Задание 1 . Меняя величину σ , установите зависимость T пр. ср. (σ ) . Задавая стоимость за простой узла 100 евро/час, установите годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков. Предложите формулировку пункта договора предприятия с поставщиками «Величина штрафа за задержку поставки изделий».
Задание 2 . Меняя величину начального заполнения склада, установите, как изменятся годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков в зависимости от принятой на предприятии величины запасов.
Моделирование нестационарных потоков событий
В ряде случаев интенсивность потока может меняться со временем λ (t ) . Такой поток называется нестационарным . Например, среднее количество за час машин скорой помощи, покидающих станцию по вызовам населения большого города, в течение суток может быть различным. Известно, например, что наибольшее количество вызовов падает на интервалы с 23 до 01 часа ночи и с 05 до 07 утра, тогда как в остальные часы оно вдвое меньше (см. рис. 28.11 ).
В этом случае распределение λ (t ) может быть задано либо графиком, либо формулой, либо таблицей. А в алгоритме, показанном на рис. 28.6 , в место, помеченное (**), нужно будет вставить фрагмент, показанный на рис. 28.12 .
Среди потоков событий особое место занимает так называемый «пуассоновский поток», обладающий по сравнению с другими, рядом свойств, существенно облегчающих решение задач.
Пуассоновским потоком событий называется поток, обладающий двумя свойствами – ординарностью и отсутствием последствий.
Поток называется потоком без последействия , если для любых двух не перекрывающих участков t 1 и t 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.
Обозначили случайное число событий, наступивших на интервале времени t 1 ,через х 1 и на интервале t 2 , через х 12 . Для потока без последействия случайные величины х 1 и х 2 независимы, т.е. вероятность того, что на участке t 2 наступило определенное число событий m 2 не зависит от того, сколько событий m 1 наступило на участке t 1 .
P (x 2 =m 2 ½x 1 =m 1) = P (x 2 =m ).
(m 1 =0, 1, 2,…)
(m 2 =0, 1, 2,…). (2.47)
Из теории вероятностей известно, что для пуассоновского потока число событий х 1 , попадающих на любой интервал длины t, примыкающих к точке t, распределено по закону Пуассона (рис. 2.5.):
где (а× (t× t)) m – среднее число событий, наступающих на интервале времени t, примыкающем к моменту времени t . Поэтому поток и называется «пуассоновским».
Среднее число событий для ординарного потока равно интенсивности потока l(t ). Следовательно, среднее число событий наступающих на интервале времени t, примыкающем к моменту времени t будет равно:
Если пуассоновский поток событий является стационарным , то величина а не будет зависеть от t:
В этом случае вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью t наступит m событий, определяется по формуле:
Стационарный поток часто называется простейшим потоком, поскольку применение простейших потоков при анализе различных систем массового обслуживания приводит к наиболее простым решениям. Найдем закон распределения интервала времени между двумя событиями в простейшем потоке (рис 2.6.):
Вероятность того, что на участке t , следующем за одним событием не появится не одного события будет:
Но эта вероятность равна вероятности того, что случайные величины Т будут больше величины t . Следовательно,
F (t )=P (T <1)=1 - p ×(T >t )=1 - e - l t , t >0. (2.54)
где F (t ) –функция распределения случайной величины Т .
Дифференцируя это выражение, получим плотность распределения случайной величины Т :
f(t )=le - l t , (t >0). (2.55)
Таким образом, в простейшем потоке интервалы между двумя соседними событиями распределен по доказательному закону с параметром l.
Вследствие отсутствия последействия все интервалы между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Поэтому простейший поток представляет собой стационарный поток Пальма .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т -интервала времени между двумя событиями в простейшем потоке, равны:
Таким образом,
Регулярный поток событий:
где Т* участок, на который упадает случайное событие.
Регулярный поток представляет собой последовательность событий, разделенных строго одинаковыми интервалами.
Плотность распределения интервала между любыми событиями, может быть представлена в виде:
f (t )=d(t-m t ), (2.59)
где d(t ) – известная дельта-функция.
Так как интервал между соседними точками строго постоянен и равен m t , то очевидно математическое ожидание этого интервала равно m t , а D t = 0.
Найдем закон распределения времени Q от случайной точки до наступления очередного события:
Характеристическая функция интервала между соседними событиями в регулярном потоке будет иметь вид:
g (x )= e - imt x. (2.61)
Регулярный поток событий сравнительно редко используется при решении прикладных задач. Это объясняется тем, что такой поток событий обладает очень большим (неограниченным) последействием, так как, зная лишь один момент наступления событий в регулярном потоке, можно восстановить всё прошлое этого потока и предсказать будущее.
За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .
Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.
Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:
где a - параметр Пуассона.
Если λ (t ) = const(t ), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ), то это нестационарный поток Пуассона .
Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:
Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:
Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.
Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С) вычисляется так:
так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, - другого не дано).
Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет - график функции монотонно возрастает.
Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).
Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.
Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток - поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x – σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [–σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.
По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:
τ = –1/λ · Ln(r ) ,
где r - равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ - интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).
Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.
На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма - моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3.
ординарность (в каждый момент времени в СМО может поступать не более одной заявки). Ординарность потока означает, что вероятность попадания на элементарный участок Dt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события, т.е. при Dt->0 эта вероятность представляет собой бесконечно малую высшего порядка.
В каждый момент времени в СМО может поступать не более одной заявки
Примерами ординарных потоков событий могут служить поток деталей, поступающих на конвейер для сборки, поток отказов технического устройства, поток автомашин, прибывающих на станцию техобслуживания. Примером неординарного потока может служить поток пассажиров, прибывающих в лифте на данный этаж.
Для ординарного потока можно пренебречь возможностью совместного появления на элементарном участке двух и более событий. В каждый момент времени в СМО может поступать не более одной заявки
отсутствие последействия - для любых не перекрывающихся участков времени T 1 ,T 2 ,…,T n числа событий Х 1 =Х(t 1 ,T 1),Х 2 =Х(t 2 ,T 2),…., Х n = Х(t n ,T n), попадающих на эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т.е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.
Отсутствие последействия означает, что для любого момента времени t0, будущие моменты наступления события потока (при t>t0) не зависят от того, в какие моменты наступали события в прошлом (при t Ординарный поток событий, в котором отсутствует последействие, называется пуассоновским потоком. Стационарность
Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем.
В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины T зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t
этот участок расположен. Это значит, что числа событий Х 1 (t 1 , T) и Х 2 (t 2 , T), попадающих на два участка одинаковой
длины T, будут иметь одинаковые распределения. Отсюда следует, в частности, что для стационарного потока событий его интенсивность l(t) постоянна: l(t) = l = const
Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Кроме того, к достоинствам простейшего потока можно также отнести следующее: а) Сумма N независимых, ординарных и стационарных потоков заявок с интенсивностями сходится к простейшему потоку с интенсивностью , при условии, что складываемые потоки оказывают более или менее одинаково малое влияние на суммарный поток; б) Поток заявок, полученный путем случайного разрежения Поток с ограниченным последействием
(рекуррентный поток) – поток, у которого случайные интервалы t1, t2,…, tn между соседними по времени событиями представляют собой независимые случайные величины. При его моделировании применяется последовательная (рекуррентная процедура): сначала разыгрывается величина t1, затем t2 и т.д. Например, последовательность вызовов такси.
исходного потока, когда каждая заявка с определенной
вероятностью p
исключается из потока независимо от того, исключены другие заявки или нет, образует простейший поток с интенсивностью , где - интенсивность исходного потока. В отношении исходного потока заявок делается предположение лишь об ординарности и стационарности.